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三、解答題．（共75分）

16．（10分）計(jì)算或解答

（1）﹣+|1﹣|﹣（2+）

（2）一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為2m﹣6，它的平方根為±（2﹣m），求這個(gè)數(shù)．

【分析】（1）首先利用算術(shù)平方根以及立方根和絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案；

（2）利用算術(shù)平方根以及平方根的定義得出m的值進(jìn)而得出答案．

【解答】解：（1）原式＝6+3+2﹣1﹣2﹣2

＝6；

（2）由題意得：2m﹣6≥0，

∴m≥3，∴m﹣2＞0，

因此2m﹣6＝﹣（2﹣m），

∴m＝4，所以這個(gè)數(shù)是（2m﹣6）2＝4．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．

17．（8分）分解因式．

（1）4x3y﹣4x2y2+xy3

（2）m3（x﹣2）+m（2﹣x）

【分析】（1）多項(xiàng)式共3項(xiàng)且有公因式，應(yīng)先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解；

（2）多項(xiàng)式變形為m3（x﹣2）﹣m（x﹣2），先提取公因式，再考慮用平方差公式分解．

【解答】解：（1）原式＝xy（4x2﹣4xy+y2）

＝xy（2x﹣y）2

（2）原式＝m3（x﹣2）﹣m（x﹣2）

＝m（x﹣2）（m2﹣1）

＝m（x﹣2）（m+1）（m﹣1）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，一般來說，多項(xiàng)式若有公因式先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解．

18．（10分）（1）計(jì)算：[（ab+1）（ab﹣2）﹣（2ab）2+2]÷（﹣ab）

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝﹣．

【分析】（1）先算括號(hào)內(nèi)的乘法，再合并同類項(xiàng)，最后算除法即可；

（2）先算乘法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可．

【解答】解：（1）原式＝（a2b2﹣ab﹣2﹣4a2b2+2）÷（﹣ab）

＝（﹣3a2b2﹣ab）÷（﹣ab）

＝3ab+1；

（2）解：原式＝x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x

＝x2+3，

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，原式＝（﹣2）2+3＝5．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．

19．（9分）已知，a+b＝3，ab＝﹣2，求下列各式的值：

（1）（a﹣1）（b﹣1）

（2）a2+b2

（3）a﹣b

【分析】（1）把式子展開，整體代入求出結(jié)果；

（2）利用完全平方公式，把a(bǔ)2+b2變形為（a+b）2﹣2ab，整體代入求出結(jié)果；

（3）根據(jù)已知和（2）的結(jié)果，先求出（a﹣b）2的值，再求它的平方根．

【解答】解：（1）原式＝ab﹣a﹣b+1

＝ab﹣（a+b）+1

＝﹣2﹣3+1

＝﹣4

（2）原式＝（a+b）2﹣2ab

＝9+4

＝13

（3）∵（a﹣b）2

＝a2+b2﹣2ab

＝13+4

＝17

∴a﹣b＝±．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整體代入和完全平方公式的變形．解決本題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化的思想．

20．（7分）如圖，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，BF＝DE，求證：AB∥CD．

【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠B＝∠D，根據(jù)平行線的判定，可得答案．

【解答】證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB＝∠CFD＝90°，

∵BF＝DE，

∴BF+EF＝DE+EF，

∴BE＝DF．

在Rt△AEB和Rt△CFD中，

，

∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），

∴∠B＝∠D，

∴AB∥CD．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出BE＝DF是解題關(guān)鍵，又利用了全等三角形的判定與性質(zhì)．

21．（10分）（1）化簡(jiǎn)：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2；

（2）利用（1）題的結(jié)論，且a＝2025x+2025，b＝2025x+2025，c＝2025x+2025，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．

【分析】（1）根據(jù)整式的混合運(yùn)算的法則化簡(jiǎn)后，代入求值即可；

（2）原式變形后，利用完全平方公式配方后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．

【解答】（1）解：原式＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+c2＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；

（2）解：原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]

當(dāng)a＝2025x+2025，b＝2025x+2025，c＝2025x+2025，

∴原式＝×[（﹣1）2+（﹣1）2+22]＝3．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．

22．（10分）如圖，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝12厘米，BC＝8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)B動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0≤t≤4）．

（1）若點(diǎn)P點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度相等經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由；

（2）若點(diǎn)P點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的速度是多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？

【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)P點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒，運(yùn)用SAS即可得到△BPD和△CQP全等；

（2）依據(jù)BP≠CQ，△BPD≌△CQP，可得BP＝CP＝4，進(jìn)而得出t＝2，a＝3，即可得到當(dāng)點(diǎn)Q的速度是3厘米/秒時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等．

【解答】解：（1）△BPD和△CQP全等

理由：∵t＝1秒，

∴BP＝CQ＝2，

∴CP＝8﹣BP＝6，

∵AB＝12，

∴BD＝12×＝6，

∴BD＝CP，

又∠B＝∠C，

∴△BPD≌△CQP（SAS）；

（2）∵BP≠CQ，△BPD≌△CQP，

∴BP＝CP＝4，

∴t＝2，

∴BD＝CQ＝at＝2a＝6，

∴a＝3，

∴當(dāng)點(diǎn)Q的速度是3厘米/秒時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解一元一次方程的應(yīng)用，能求出△BPD≌△CQP是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．

23．（11分）CD經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．

（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：

①如圖1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BE　＝　CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；EF，BE，AF三條線段的數(shù)量關(guān)系是：　EF＝|BE﹣AF|　．

②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件　∠α+∠ACB＝180°．　，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立．

（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想并證明．

【分析】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；

②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；

（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．

【解答】解：（1）①如圖1中，

E點(diǎn)在F點(diǎn)的左側(cè)，

∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，

∴∠BEC＝∠AFC＝90°，

∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，

∴∠CBE＝∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE＝CF，CE＝AF，

∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，

當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF＝AF﹣BE，

∴EF＝|BE﹣AF|；

故答案為＝，EF＝|BE﹣AF|．

②∠α+∠ACB＝180°時(shí)，①中兩個(gè)結(jié)論仍然成立；

證明：如圖2中，

∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°，

∴∠CBE＝∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE＝CF，CE＝AF，

∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，

當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF＝AF﹣BE，

∴EF＝|BE﹣AF|；

故答案為∠α+∠ACB＝180°．

（2）結(jié)論：EF＝BE+AF．

理由：如圖3中，

∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，

∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，

∴∠EBC＝∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴AF＝CE，BE＝CF，

∵EF＝CE+CF，

∴EF＝BE+AF．

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，注意這類題目圖形發(fā)生變化，結(jié)論基本不變，證明方法完全類似，屬于中考常考題型．